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Impacto das Reuniões do Copom no Preço de Opções de Índice de Taxas de Juros (IDI) 2017-02-10T11:00:42+00:00

Project Description

Impacto das Reuniões do Copom no Preço de Opções de Índice de Taxas de Juros (IDI)

Este trabalho apresenta uma nova modelagem do prêmio de opções sobre índice de taxa de juros de curto prazo, o IDI (Índice de Depósitos Interfinanceiros), negociadas na BM&FBOVESPA. Esta modelagem é baseada no trabalho de Genaro; Avellaneda (2013) e procura incorporar de forma explícita a dinâmica da política monetária. Este estudo mostra-se, portanto, relevante no caso de países que adotam o regime de meta de inflação, como o Brasil. Para isso, o modelo trabalha com duas fontes de incerteza: as futuras decisões do Copom e as oscilações diárias das taxas de juros de curto prazo. A dinâmica das decisões do Copom é modelada através de uma cadeia de Markov de tempo discreto (DTMC – Discrete Time Markov Chain). Este trabalho apresenta também uma metodologia de calibragem do modelo DTMC através do histórico de decisões do Copom. Sobre o modelo de preço são testados dois comportamentos: a consistência do modelo com hipóteses econômicas e a consistência do modelo com os prêmios de referência da BM&FBOVESPA.

Introdução

Instrumentos derivativos são tradicionalmente negociados na BM&FBOVESPA. Entre eles, a opção sobre IDI é o terceiro derivativo em número de contratos negociados de taxa de juros (BM&FBOVESPA, 2014). Portanto, existe um grande interesse na modelagem deste tipo de instrumento financeiro. Este trabalho faz uma proposta de modelagem de seu preço baseado na dinâmica das taxas de juros de curto prazo do mercado financeiro brasileiro, levando em conta a execução da política monetária num regime de metas de inflação. A modelagem utilizada procura ser a mais simples possível para facilitar a sua implantação pelos agentes de mercado.

Existe atualmente uma bibliografia já consolidada que trata de modelagem de instrumentos derivativos de taxas de juros. Como mais conhecidos pode-se citar (Rebonato, 1998), (Hull, 2010) e (Brigo; Mercurio, 2007). Estes trabalhos referem-se a modelos gerais de precificação de derivativos de taxas de juros. Eles são muito úteis para dar a intuição do mecanismo de preço dos derivativos frente ao comportamento da taxa de juros. Mas cada instrumento deve ser tratado de acordo com sua especificidade, principalmente alguns instrumentos transacionados no mercado financeiro brasileiro, por conta de suas características peculiares.

Exemplo típico é a própria opção sobre o IDI. Este índice é formado pelo valor base de 100.000 pontos na data base (no caso tem-se duas datas base: 2/1/2003 e 2/1/2009) acruado diariamente pelo CDI-over, ou seja, é um ativo objeto que nunca decresce. Trabalhos envolvendo a modelagem deste tipo de opção não são recentes. Já em 1997, Silva (1997) propõe o uso do modelo BDT (Black, Derman e Toy) para precificar este tipo de opção, aplicando a técnica de bootstrapping para obter uma estrutura a termo de volatilidade da taxa de juros.

Já Barbachan; Ornelas (2003) utilizam o modelo de taxa de juros CIR (Cox, Ingersoll e Ross) para derivar um modelo de preço livre de arbitragem com forma fechada. Os autores ainda fazem uma comparação com os preços obtidos com um modelo de precificação que utiliza o modelo de taxa de juros Vasicek, mostrando que este último superestima os prêmios das opções.

Nojima (2013) utiliza o modelo de taxa de juros HJM (Heath, Jarrow e Morton) aliada à simulação por Monte Carlo para precificar as opções sobre IDI. Neste trabalho, dois parâmetros da dinâmica da taxa de juros são tratados independentemente: o tempo e a volatilidade. O fato de desacoplar os parâmetros do modelo inspirou a originalidade do modelo que será apresentado mais à frente.

Nos trabalhos citados – e em muitos outros –, nota-se uma grande diversidade de abordagens para obter um modelo de preço para as opções sobre o IDI. Isto é esperado, dadas as características peculiares deste instrumento financeiro. Todos estes apresentam vantagens e desvantagens, tanto do ponto de vista conceitual quanto do ponto de vista prático, porém todos têm um ponto em comum: baseiam-se em modelos teóricos de evolução de taxa de juros.

Em um país que adota o regime de metas de inflação com a taxa de juros de curto prazo como principal instrumento de política monetária, o comportamento observado desta taxa segue um padrão característico: movimentos oscilatórios associados à movimentos de “degraus”. Partindo desta observação empírica, Genaro; Avellaneda (2013) desenvolvem um modelo de evolução da taxa de juros de curto prazo utilizando um modelo de DTMC (Discrete Time Markov Chain), incorporando assim estes movimentos de “degraus”.

Modelagem

O modelo de taxa de juros

O modelo de taxa de juros é baseado no trabalho de Genaro; Avellaneda (2013). Eles partem de um modelo de não arbitragem de um zero coupon bond de valor nominal igual a 1, tal que:

(1)

copom_Fomula1

Onde Rt é um processo estocástico referente ao movimento da taxa de juros de curto prazo (overnight), definido como:

(2)

copom_Fomula2

onde rt é a componente que atribui o comportamento oscilatório da taxa de juros de curto prazo, enquanto a componente θt refere-se aos saltos que ocorrem nas datas das reuniões até a data t.

Um exemplo de realização deste processo pode ser observado na Figura 1. Nota-se claramente os dois comportamentos estudados: o movimento oscilatório entre duas reuniões consecutivas e os saltos (degraus) nas datas de reuniões do Copom.

  • Figura 1: Comportamento do CDI diário (taxa linear a.a., base 252)1, com duas reuniões do Copom no período, sofrendo duas baixas consecutivas de 50 Bps cada. Fonte: (Genaro; Avellaneda, 2013).

1 No Brasil, as taxas de juros de curto prazo são exponenciais a.a., com base 252. Porém este trabalho faz o uso da taxa linear a.a., com base 252 para facilitar o desenvolvimento algébrico apresentado a seguir.

Analisando dados de 2000 a 2012, Genaro; Avellaneda (2013) constatam dois fatos fundamentais para o desenvolvimento do seu modelo:

  • No caso do Brasil, existe uma persistência das decisões da política monetária, isto é, dado que houve um aumento da taxa de juros na última reunião do Copom, existe uma probabilidade maior que ocorra outro aumento na próxima reunião. Veja a Figura 2.
  • Não pode ser constatada uma relação forte entre o nível da taxa overnight e as decisões do Copom, como é possível observar empiricamente na Figura 3.
  • Figura 2: Decisão do Copom em t em função da decisão realizada em t − 1. Período de Jan/2001 a Nov/2013. Fonte: (Genaro; Avellaneda, 2013).

Partindo destas constatações, os autores propõem um modelo de DTMC para modelar θt, cuja matriz de mudança de estados independe do nível atual da taxa overnight.

  • Figura 3: Decisão do Copom em t em função do CDI (taxa linear a.a., base 252) em t. Período de Jan/2001 a Nov/2013. Fonte: (Genaro; Avellaneda, 2013).

Modelo da dinâmica das decisões do Copom

No modelo DTMC existe um conjunto de probabilidades de n estados possíveis Γ (t) em um determinado instante t e um conjunto de probabilidades (Φ) que leva das probabilidades dos possíveis estados do instante anterior (Γ (t 1)) às probabilidades dos possíveis estados do instante imediatamente posterior. Uma representação deste modelo é:

copom_Fomula1a

Onde:

copom_Fomula1b

copom_Fomula4

No caso, o termo Ρ[θn] (t) representa a probabilidade de no instante t, o sistema estar no estado θn. E ainda, o termo Ρ(np) representa a probabilidade do sistema ir para o estado θdado que ele se encontra no estado θp. Ao conjunto destas probabilidades condicionais dá-se o nome de Matriz de Transição.

Algumas propriedades importantes deste modelo:

copom_Fomula1c

  • Ou seja, a somatória de todos os elementos de cada coluna da matriz de transição é igual a 100%;
  • As probabilidades dos n estados possíveis de t dependem exclusivamente das probabilidades dos n estados possíveis de t 1.

Para ilustrar como este modelo será utilizado no modelo de preço de opções, faz-se um pequeno exemplo numérico.

Partindo da hipótese de existir somente três possibilidades para as decisões do Copom:

  • elevar a taxa de juros de curto prazo em 25 Bps (θ1)
  • manter a taxa de juros de curto prazo no patamar atual (θ2)
  • diminuir a taxa de juros de curto prazo em 25 Bps(θ3)

Assumindo-se, por hipótese adicional, que a matriz de transição seja dada por:

copom_Fomula5Segundo este modelo, se a última decisão do Copom foi a de aumentar em 25 Bps a taxa de juros de curto prazo, para a próxima reunião existe 50% de chance de aumentar mais 25 Bps, 40% de chance de manter e 10% de chance de baixar 25 Bps.

copom_Fomula6E, para a reunião subsequente, as probabilidades das possíveis decisões podem ser obtidas por:

copom_Fomula7Portanto, neste exemplo, para a segunda reunião do Copom, a probabilidade de um aumento de 25 Bps é de 36%; a probabilidade de não haver alteração é de 43,5%; e a probabilidade de haver uma queda de 25 Bps é de 20,5%, dado que na última reunião houve um aumento de 25 Bps.

Modelo de opções de compra sobre IDI

A modelagem do preço de uma opção de compra começa pela Equação 1 aplicada no modelo tradicional de opção, onde o seu preço justo é o seu payoff trazido a valor presente por uma taxa de desconto livre de risco. Assim:

(3)

copom_Fomula8

O termo IDISpot é o valor índice IDI na data t. O termo f(t,v) é o fator que corresponde ao retorno livre de risco de t até o vencimento da opção, v. O termo rStrike  é a taxa contínua referente ao valor de strike da opção, tal que:

copom_Fomula9Utilizando a informação de que a decisão do Copom não tem uma relação forte com o nível da taxa de juros de curto prazo, a equação anterior pode ser reescrita como:

(4)

copom_Fomula10

O termo Θ refere-se ao conjunto [θ(t1)θ(t2);…;θ(tn)] , ou seja, às decisões das n próximas reuniões do Copom. Portanto, a primeira esperança refere-se às futuras decisões do Copom. Sobre esta esperança será aplicado o modelo DTMC. O segundo termo é o prêmio da opção condicionado às decisões do Copom.

Para facilitar o desenvolvimento algébrico, faz-se uma troca das taxas contínuas por taxas lineares ao ano (base 252), de forma que:

copom_Fomula11

copom_Fomula12

Assim, o modelo proposto é dado por:

(5)

copom_Fomulaalt1

copom_Fomulaalt2

O termo Ρ(Φ)j = [ é a probabilidade de ocorrência do j-ésimo conjunto de decisões das próximas n reuniões do Copom = [θj(t1);θj t2);…;θj(tn)]). Estas probabilidades são obtidas a partir da matriz de transição do DTMC (Φ). Assim, dado que existem k decisões possíveis, há N=kn  conjuntos de decisões possíveis para as n próximas reuniões.

Nota-se uma semelhança da Equação 5 com o modelo Black-76 (Hull, 2010). Mas neste caso o ativo objeto passa a ser a assim definida taxa linear “desacoplada” do termo dos choques das reuniões do Copom (TxLinTermo). E o termo σ refere-se à sua volatilidade. Estes parâmetros serão tratados a seguir.

Uma observação sobre o termo d1 . É necessário um tratamento no caso de TxLinStrike (Φj) < 0. Nestas situações, como poderá ser visto a seguir, o IDITermo  corrigido pelas futuras decisões do Copom de t a v supera o IDIStrike. Por ser um índice de acruamento, o IDI nunca decresce, ou seja, a probabilidade neste caso (dadas as futuras decisões do Copom), do índice não atingir o valor de strike é nula. Portanto, arbitrariamente adota-se um valor para d1 tal que N(d1) = N(d2) = 1.

Parâmetros do modelo de Black-76

Com relação ao valor a termo do ativo objeto, parte-se da mecânica do regime de metas de inflação, onde a autoridade monetária estabelece uma meta para as taxas de juros de curto prazo e, atuando diretamente no mercado, tenta mantê-la próxima aesta meta. Portanto, pode-se supor que a taxa de juros linear no momento do vencimento da opção, descontado o efeito dos choques das reuniões do Copom, será a mesma observada hoje.

Desta forma, o ativo objeto da opção é a taxa de juros “líquida” do efeito das reuniões do Copom. Por esta razão, o strike também deve ser uma taxa “líquida” deste efeito. Portanto, o strike é definido como uma função de um conjunto possível de decisões (TxLinStrike) (Φj)). Assim, o valor do parâmetro de strike é dado por:

(6)

copom_Fomulaalt3

A volatilidade é estimada sobre a série ajustada do CDI, descontando-se o efeito das reuniões do Copom. Na Figura 4 é possível comparar à série do CDI e a do CDI ajustado. Nota-se que a série do CDI ajustado é muito mais comportada (menos volátil).

Este trabalho adota a metodologia EWMA para a estimação da volatilidade vis-à-vis as seguintes hipóteses:

  • para a série ajustada do CDI (Figura 4), o padrão da volatilidade (e não a volatilidade em si) varia pouco ao longo do tempo, portanto, a volatilidade observada é um bom estimador para a volatilidade futura;
  • existe uma inércia na volatilidade do CDI ajustado, de forma que o estado da volatilidade de hoje é impactada pelos estados das volatilidades anteriores.
  • Figura 4: Comparativo entre o CDI e o CDI ajustado, com dados de Jan/2001 a Nov/2013. Fonte: elaboração própria.

A volatilidade obtida por este método refere-se à uma volatilidade diária. Para obter a volatilidade anualizada, é necessário o seguinte ajuste:

copom_formulaalt4

Portanto estão definidos todos os parâmetros do modelo de Black-76: o valor a termo do ativo objeto, o strike e a volatilidade.

Calibragem do modelo de dinâmica das decisões do Copom

O objetivo da calibragem é obter uma Matriz de Transição que reflita fielmente as probabilidades das decisões futuras do Copom a partir da última decisão.

Existem algumas formas para se estimar a Matriz de Transição. No caso de Genaro; Avellaneda, a calibragem é feita através de um processo de otimização, onde se busca minimizar o erro quadrático médio entre os preços de um título zero coupon obtido pela Equação 1 e um obtido pela curva de taxa de juros livre de risco, mais conhecida no mercado como curva pré.

Neste trabalho, obtém-se a Matriz de Transição através de uma análise histórica das decisões do Copom basicamente por dois motivos. Primeiro, adota-se a hipótese de que a dinâmica da condução da política monetária varia pouco, isto é, existe um padrão de comportamento do processo decisório do Copom que se mantém ao longo do tempo. Um indício para esta hipótese é a Figura 2, como citado anteriormente. Segundo, este método procura capturar diretamente este comportamento em vez de tentar inferi-lo a partir do consenso de mercado implícito na curva pré (curva de taxa livre de risco). Isto porque existem outras expectativas implícitas além da própria decisão do Copom nesta curva, por exemplo a própria oscilação diária da taxa de juros de curto prazo.

Foram considerados 5 estados possíveis das decisões do Copom ([50; 25; 0; 25; 50] Bps), visto que compreendem cerca de 80% dos casos avaliados entre Jan/2001 a Nov/2013 (BC, 2014). No caso, foram consideradas 123 decisões. O resultado está apresentado na Tabela 1.

  • Tabela 1: Porcentual de ocorrência das combinações de decisões do Copom, considerando o período de Jan/2001 a Nov/2013, e valores de [−50; −25; 0; 25; 50] Bps, totalizando 123 observações. Fonte: elaboração própria.

Consistência do modelo

Primeiro, é necessário entender quais são as premissas econômicas básicas às quais o modelo deve atender. Basicamente, o trabalho avalia três hipóteses:

  • sobre a variação do strike. Para uma opção de compra, tudo o mais constante, espera-se que quanto maior o IDIStrike, menor a probabilidade do IDISpot superá-lo na data de vencimento da opção, portanto menor o valor do seu prêmio.
  • sobre a variação do vencimento. Para uma opção de compra, tudo o mais constante, espera-se que quanto maior o prazo para o vencimento da opção, maior a probabilidade do IDISpot superar o IDIStrike, portanto maior o valor do seu prêmio.
  • sobre a variação da última decisão do Copom. Para um comportamento persistente das decisões do Copom observado no capítulo anterior, ou seja, uma correlação forte e positiva entre duas decisões consecutivas, espera-se que quanto mais positivo for o choque da última decisão do Copom, maior seja a possibilidade de os próximos choques serem também positivos, e assim, maior a probabilidade do IDISpot  superar o IDIStrike, portanto maior o seu prêmio.

Hipótese 1: a variação do strike

Mantendo todos os parâmetros fixos e variando o strike, chega-se aos prêmios observados na Figura 5. Como é possível notar, o aumento do strike é acompanhado de queda no prêmio da opção.

  • Figura 5: Comportamento do prêmio da opção de compra variando o IDIStrike. Fonte: elaboração própria.

Hipótese 2: a variação do vencimento

Variando-se apenas as datas de vencimento, os preços unitários dos contratos futuros e as quantidades de reuniões do Copom, chega-se aos prêmios listados na Tabela 2. Nota-se que o aumento do prazo para o vencimento gera um aumento no prêmio da opção, assim como esperado.

  • Tabela 2: Comportamento do prêmio da opção de compra variando o vencimento. Fonte: elaboração própria.

Hipótese 3: variação da última decisão do Copom

Variando (hipoteticamente) a última decisão do Copom, chega-se aos prêmios apresentados na Tabela 3. Os resultados mostram o comportamento esperado: quanto maior o choque da última decisão do Copom, maior o prêmio da opção.

  • Tabela 3: Comportamento do prêmio da opção de compra variando a última decisão do Copom. Fonte: elaboração própria.

Resultados e conclusões

Seguem alguns dos resultados obtidos com a aplicação do modelo, listados na Tabela 4. São apresentados dois critérios de comparação: os prêmios de referência da BM&FBOVESPA e o valor intrínseco da opção observado no vencimento.

  • Tabela 4: Comparação entre os prêmios calculados pelo modelo proposto e os prêmios de referência da BM&FBOVESPA. Fonte: elaboração própria.

Alguns pontos observados nos resultados da aplicação do modelo:

  • para os casos de opções ITM (in-the-money) de vencimento curto e sem nenhuma reunião do Copom no período, os prêmios calculado e de referência tendem a convergir. Isto porque se espera que a taxa de juros de curto prazo fique em torno da meta estabelecida para o período, sendo na prática quase uma taxa pré-fixada.
  • para vencimentos médios e longos (que contenham pelo menos uma reunião do Copom no período), o modelo se mostra mais sensível à última reunião do Copom. No caso de choques negativos na última decisão do Copom, os prêmios calculados se mantêm consistentemente abaixo do prêmio de referência. Quando o choque é positivo, os prêmios para opções ITM tendem a ficar abaixo do prêmio de referência, enquanto que para as opções OTM out-the-money), tendem a ficar acima do prêmio de referência.
  • utilizando a diferença positiva entre o IDISpot e o IDIStrike no vencimento (valor intrínseco em v) da opção como critério de avaliação da capacidade preditiva do modelo, nota-se que os resultados pioram com o aumento do prazo, assim como esperado. Mas o “erro” do modelo proposto tende a ser menor do que o “erro” dos prêmios de referência.
  • de modo geral, os prêmios calculados através do modelo proposto tiveram um comportamento muito semelhante aos prêmios de referência da BM&FBOVESPA, ou seja, o modelo está em linha com as expectativas do mercado.

Este trabalho apresentou um novo modelo de preço de um instrumento financeiro peculiar do mercado brasileiro: opções sobre o IDI. Ele tem como principal destaque a capacidade de tratar de forma explícita duas dinâmicas: a da política monetária sob um regime de metas de inflação; e a do próprio mercado de taxa de juros de curto prazo.

Como sugestão para futuros trabalhos, outros métodos de calibragem para o modelo DTMC da dinâmica das decisões do Copom podem ser utilizados, caso da incorporação da informação do viés, frequentemente divulgado nas atas das reuniões.

Referências bibliográficas

  • Bacen. Histórico das taxas de juros. 2014. Disponível em: <https://www.bcb.gov.br-/?COPOMJUROS>.
  • Barbachan, J. F.; Ornelas, J. H. Apreçamento de opções de IDI usando o modelo CIR.
  • Estudos Econômicos (São Paulo), scielo, v. 33, p. 287–323, 2003.
  • BM&FBOVESPA. Volume Geral – Dezembro 2013. 2014. Disponível em: <http://www.bmf-.com.br/bmfbovespa/pages/boletim1/VolumeGeral/VolumeGeral.asp>.
  • Brigo, D.; Mercurio, F. Interest Rate Models – Theory and Practice. Springer, 2007.
  • Genaro, A. de; Avellaneda, M. Pricing Interest Rate Derivatives Under Monetary Changes, 2013. Disponível em: <http://portal.anbima.com.br/a-anbima/premio-mercado-de-capitais/artigos-cientificos/Documents/Alan%20De%20Genaro%20e%20Marco%20Avellaneda.pdf>.
  • Hull, J. C. Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall, 2010.
  • Nojima, N. K. Precificação de Derivativos de Taxas de Juros Utilizando o Modelo HJM Multifatorial com Estrutura de Volatilidade não Paramétrica. Dissertação (Mestrado) — Fundação Getúlio Vargas, 2013.
  • Rebonato, R. Interest-Rate Option Models. Wiley, 1998.
  • Silva, M. E. da. Alternativa para precificar opções sobre IDI. Resenha BM&F, Nº 119, pags. 33-36, 1997.

Autores

Erick Wakamoto Takarabe
Erick Wakamoto Takarabe
BM&FBOVESPA
Marcos Eugênio da Silva
Marcos Eugênio da Silva
Professor Assistente Doutor da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo (FEA-USP)