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Futuros de Boi Gordo – Determinação de preços de contratos ilíquidos a partir dos mais líquidos 2017-02-10T11:00:43+00:00

Project Description

Futuros de Boi Gordo – Determinação de preços de contratos ilíquidos a partir dos mais líquidos

Resumo

O objetivo deste trabalho é apresentar uma solução para o cálculo dos preços de contratos ilíquidos de futuros de Boi Gordo a partir do preço dos contratos mais líquidos desta mercadoria. A motivação para esta pesquisa parte das dificuldades devidas à iliquidez presente em diversos contratos de commodities, problema comum aos participantes do mercado brasileiro. A apuração consistente dos níveis de preço de contratos futuros destas mercadorias é fundamental para o cálculo da exposição financeira nos vencimentos negociados, necessário para gestão de risco de carteiras que contenham esses contratos. A metodologia proposta toma como base o custo de carregamento implícito nos preços dos contratos líquidos. Os vencimentos são agrupados em blocos de safra e entressafra e o custo de carregamento é ajustado com um modelo linear em função do vencimento dos contratos. A metodologia apresentada nesse artigo é utilizada pela BM&FBOVESPA no cálculo diário dos preços de ajuste dos vencimentos sem negócios no leilão de formação do preço de ajuste ou preço de referência.

Introdução

De forma geral, no mercado BM&FBOVESPA estão autorizados à negociação contratos futuros de Boi Gordo com vencimentos em todos os meses do ano. Entretanto a dinâmica de liquidez de cada vencimento varia ao longo do ano, caracterizada pelos períodos de safra (dezembro a maio) e entressafra (junho a novembro). O que se observa no dia a dia de negociação, e se verifica por meio de dados históricos, é uma concentração de liquidez em contratos que marcam os picos de safra (vencimento em maio) e entressafra (vencimento em outubro), além do vencimento mais curto. A maior parte dos contratos apresenta negociação faltando apenas um ou dois meses para o vencimento, enquanto os mais líquidos (vencimentos que marcam os picos de safra e entressafra) persistem durante boa parte do ano, principalmente o de vencimento em outubro (Figura 1 e Figura 2).

O principal desafio neste cenário é realizar a marcação a mercado dos contratos ilíquidos, ou seja, que passam boa parte de sua vigência sem apresentar quantidade significativa de negócios. Tomando-se como exemplo o dia 15/1/2013, onde tem-se negociação apenas nos vencimentos F13, G13, K13 e V13, é necessário determinar os preços dos contratos H13, J13, M13, N13, Q13, U13, X13 e Z13 (ver Tabela 1 para identificação dos vencimentos em relação aos meses do ano).  Desta forma, tem-se quatro contratos com informação de mercado e oito sem informação. Logo, para determinar os preços dos contratos sem informação é necessária uma metodologia que seja passível de ser utilizada com a informação existente, isto é, os quatro contratos com informação de mercado.

Resultados preliminares

Ao se avaliar a adequação dos modelos mais comuns da literatura para o apreçamento de futuros de commodities, tais como os de Gabillon (1991), Schwartz (1997) e Schwartz; Smith (2000) conclui-se que os mesmos não são capazes de descrever o comportamento dos preços do mercado brasileiro. Os pontos mais críticos, presentes em todos eles, são a tentativa de capturar a forma da estrutura a termo como um todo e o uso de elementos de convergência de longo prazo de cerca de dez anos. Em relação ao primeiro ponto, na Figura 3b são apresentados exemplos de formatos de estrutura a termo que os modelos propostos nos trabalhos mencionados são capazes de reproduzir, onde fica claro que eles são incompatíveis com o formato observado no caso dos futuros de Boi Gordo. Já em relação ao prazo, pode ser observado na Figura 3a que o ciclo dos contratos de Boi Gordo é relativamente curto (menor que dois anos), característica que também não é levada em conta nos modelos da literatura.

Outro elemento comumente observado na literatura é quantidade de parâmetros necessária para a calibração de alguns modelos, que de forma geral não é adequada à quantidade de informação disponível no mercado em questão.

  • Tabela 1: Correspondência entre meses do ano com códigos dos vencimentos.
  • Figura 1: Volume negociado diariamente para cada vencimento autorizado, entre janeiro de 2011 e dezembro de 2012. Nota-se que os contratos com vencimento em maio (K) e outubro (V) adquirem liquidez antes dos demais.

No modelo proposto por Schwartz (1997) e aplicado ao mercado brasileiro por Kacowicz (2012), são construídas séries temporais sintéticas de maturidades fixas para determinar os preços dos futuros por meio de filtro de Kalman. Tal agrupamento, entretanto, suprime o efeito de sazonalidade presente nos preços uma vez que cada vencimento fixo pode ser de safra ou entressafra dependendo da janela histórica observada para sua construção. Além disso, o modelo avaliado no segundo trabalho depende de uma grande quantidade de parâmetros, bem como de séries históricas e não apresenta bons resultados para além do primeiro vencimento. Já em SØrensen (2002) tenta-se usar um elemento sazonal, porém tendo resultados similares aos de Schwartz (1997). Por fim, modelos como os de Gabillon (1991) e Schwartz; Smith (2000) dependem de uma componente de longo prazo (cerca de 10 anos) que é muito maior do que o prazo mais longo negociado no Brasil (Figura 3).

  • Figura 2: Média de contratos em aberto em cada mês do ano tomando dados históricos entre janeiro de 2011 e julho de 2013.

Outro elemento comumente observado na literatura é quantidade de parâmetros necessária para a calibração de alguns modelos, que de forma geral não é adequada à quantidade de informação disponível no mercado em questão.

  • Figura 3: À esquerda, exemplo de estrutura a termo observada no mercado de Boi Gordo da BM&FBOVESPA; à direita, exemplos de formatos capturados pelos modelos citados. É importante notar a diferença em ordem de grandeza das escalas de maturidade em cada caso.

No modelo proposto por Schwartz (1997) e aplicado ao mercado brasileiro por Kacowicz (2012), são construídas séries temporais sintéticas de maturidades fixas para determinar os preços dos futuros por meio de filtro de Kalman. Tal agrupamento, entretanto, suprime o efeito de sazonalidade presente nos preços uma vez que cada vencimento fixo pode ser de safra ou entressafra dependendo da janela histórica observada para sua construção. Além disso, o modelo avaliado no segundo trabalho depende de uma grande quantidade de parâmetros, bem como de séries históricas e não apresenta bons resultados para além do primeiro vencimento. Já em SØrensen (2002) tenta-se usar um elemento sazonal, porém tendo resultados similares aos de Schwartz (1997). Por fim, modelos como os de Gabillon (1991) e Schwartz; Smith (2000) dependem de uma componente de longo prazo (cerca de 10 anos) que é muito maior do que o prazo mais longo negociado no Brasil (Figura 3).

Análise de dados históricos

Para realizar a análise apresentada aqui, foram tomados os preços de ajuste divulgados diariamente pela BM&FBOVESPA para os contratos futuros de Boi Gordo no período de 1º de janeiro de 2011 a 31 de julho de 2013.

A primeira observação pertinente ao comportamento dos preços dos futuros é o movimento em paralelo com espaçamentos regulares quando se observam separadamente os contratos relativos a períodos de safra dos relativos a períodos de entressafra (Figura 4b e Figura 4a, respectivamente). Este é um indício de que a correlação entre os retornos destes preços é positiva. Na verdade, o resultado 7 observado para estes dados é uma correlação média de 0,94 para os períodos de safra e de 0,93 para os de entressafra.

Outros aspectos a serem levados em consideração são a convergência dos futuros para o preço à vista na medida em que o contrato se aproxima da liquidação e o fato de os preços dos contratos futuros ficarem sistematicamente acima do preço à vista no bloco de entressafra e sistematicamente abaixo no bloco de safra.

  • Figura 4: Evolução temporal dos preços de contratos da entressafra 2012 (a) e da safra 2013 (b). Em cada caso a linha preta representa o indicador à vista.

Modelo Proposto

Assumindo que o preço futuro pode ser escrito como:

Fórmula 1

 

 

Onde:

  • F = preço do contrato futuro para o prazo T
  • S = preço à vista do ativo
  • r = taxa de juros livre de risco para o prazo T
  • T = prazo referente à data de vencimento do contrato
  • g(T) = custo de carregamento do contrato para o prazo T

Uma vez que o preço à vista e a estrutura a termo das taxas de juros são conhecidos, a modelagem dos preços futuros é feita a partir da modelagem do custo de carregamento implícito nos contratos.

Isolando-se o custo de carregamento da expressão (1) tem-se a seguinte transformação:

Fórmula 2

 

 

A relação entre os preços futuros e à vista sugere dois regimes distintos para o custo de carregamento (Figura 4): um associado ao período de safra e outro ao período de entressafra. Tal diferenciação possui significado econômico, uma vez que os períodos de safra e entressafra das commodities são caracterizados por regimes distintos de oferta e demanda.

Aplicando a transformação (2) a todo o histórico da Figura 4b, originado de um período de safra, chega-se ao gráfico da Figura 5, na qual nota-se visualmente um comportamento linear para os dados, principalmente para prazos anualizados menores do que 0,1 (aproximadamente 1 mês).

  • Figura 5: Transformação dos preços em função do prazo para preços de futuros da safra 2013 e preço à vista correspondente ao período.

Assumindo então um modelo linear para g(T), tem-se:

Fórmula 3

 

 

Considerando a dinâmica de movimento comum a todos os vencimentos de mesmo grupo (safra/entressafra), o custo de carregamento do grupo poderia ser determinado a partir do ajuste da equação 2 sobre os dados observados. No entanto, nota-se que a informação dos vencimentos negociados no dia da marcação a mercado seria suficiente para o apreçamento dos vencimentos ilíquidos. Neste contexto, sendo os contratos separados em grupos, seriam necessários no mínimo dois vencimentos líquidos em cada grupo para realizar o apreçamento dos demais.

Mas como já mencionado, usualmente o vencimento mais curto e os picos de safra/entressafra apresentam liquidez, de forma a não haver o mínimo de dois vencimentos líquidos por grupo. Portanto, na ausência de vencimentos líquidos os vencimentos de pico de safra/entressafra serão utilizados no ajuste de , pois eles definem a interface entre grupos e, nesta situação, fariam o papel de pivôs que definem a quebra de regime na estrutura a termo.

Aplicação do Modelo

Tendo a equação do custo de carregamento estimada (equação 2), aplica-se a equação 1 para apreçar os vencimentos ilíquidos. Nesta seção, primeiramente são apresentados os resultados da aplicação desta abordagem no cálculo dos preços para a data 3/5/2012, conjuntos de preços da entressafra de 2012. Neste caso foram usados os vencimentos de pico de safra/entressafra (K12 e V12) para determinar os demais vencimentos (M12, N12, U12 e X12). Note que K12 é um vencimento de safra e está sendo utilizado, em conjunto com o vencimento de entressafra V12, no apreçamento de contratos de entressafra. Após o vencimento de maio/2012, o próximo vencimento seria junho/2012, e provavelmente o mais líquido. De forma que junho e outubro seriam utilizados para estimar os demais vencimentos da entressafra. Essa dinâmica, na qual o primeiro vencimento é sempre líquido, ilustrada na Tabela 2, se perpetua até o vencimento de todos os contratos.

  • Figura 6: Exemplo de aplicação da linearização do custo de carregamento para uma data na qual houve negociação dos contratos com vencimento em maio e outubro simultaneamente. Detalhes da legenda: “Dado” refere-se aos preços observados; “Modelo”, aos preços estimados com o modelo; “Referência” corresponde aos preços dos contratos com vencimento em maio e outubro, que foram utilizados para estimar os demais preços.
  • Tabela 2: Esquema de rolagem dos contratos para os seis primeiros meses do ano, indicando os vencimentos a serem interpolados na ausência de informação de mercado. São considerados líquidos o 1º vencimento e os dois próximos picos, safra ou entressafra dependendo do mês de negociação.

Na sequência são apresentados resultados para vários dias de negociação de contratos da entressafra 2012. A Figura 7 apresenta os resultados relativos a um histórico no qual houve negociação simultânea dos contratos de vencimento em maio e outubro. Nela observa-se que a maioria das diferenças entre o preço estimado e o observado é menor do que 1%.

  • Figura 7: Diferença percentual entre os preços estimados (com modelo linear para o custo de carregamento) e preços observados para o período em que houve negociação concomitante de vencimentos em maio de 2012 e outubro de 2012.

Casos de ausência de informação

Na sessão anterior, o custo de carregamento foi estimado para a entressafra de 2012. Para construir a parte mais longa da curva (dezembro/2012 a maio/2013) é necessário lidar com vencimentos com diferentes regimes de liquidez: intermitentes e ilíquidos.

Para estimar a safra de 2013 de acordo com a presente metodologia é necessário que K13, vencimento que corresponde ao pico da safra, tenha informação. No entanto, em meados de 2012 este contrato está começando a ser negociado e ainda apresenta intermitência em suas negociações. Isso acontece porque, com um ano de antecedência, os agentes estão iniciando o hedge da produção do próximo ano e o vencimento está em um processo de formação de preço. Dessa forma, para alguns dias, não há o número mínimo de vencimentos necessários para o ajuste do custo de carregamento no período da safra de 2013. Na ausência de informação de mercado, é possível utilizar os últimos coeficientes estimados referentes aos mesmos vencimentos V12 e K13. Neste caso, quando o par V12-K13 apresentar informação, esta é utilizada, caso contrário, a última estimativa dos coeficientes deste é utilizada no cômputo de g(T). Esta abordagem foi aplicada e para poucos dias o erro cometido é significativamente baixo (menor do que 2%), como pode ser observado na Figura 8.

Para o caso em que um novo contrato é autorizado à negociação, ainda não há informações recentes de mercado para seu preço. Neste caso é possível usar a média dos coeficientes do período equivalente do ano anterior. Continuando com o exemplo da seção anterior, para estimar a entressafra de 2013 seria necessário ter K13 e V13, no entanto, como K13 está em formação de preço e V13 não possui negócios, não há informação para estimar o custo de carregamento g(T). E neste caso usaríamos a média das estimativas dos coeficientes do par K12-V12, referentes à última entressafra. Na Figura 9 é apresentada a distribuição de erro obtida ao se tomar a média dos coeficientes entre os vencimentos K12 e V12 para se determinar os preços dos contratos da entressafra 2013. A avaliação foi feita para o período no qual houve negociação simultânea dos contratos K13 e V13. Esta estimativa pode ser uma boa referência para os participantes do mercado, dado o cenário em que ainda não há formação de preço.

  • Figura 8: Distribuição de erro para estimativa dos preços dos contratos com vencimento em maio de 2012 a partir de coeficiente histórico de dois dias anteriores.
  • Figura 9: Distribuição de erro obtida a partir do uso da média do coeficiente angular da safra 2012 no cálculo dos preços dos futuros da safra 2013.

Discussão

A dinâmica de negociação dos contratos futuros de Boi Gordo ilustrada nos gráficos da Figura 1 e da Figura 2 mostram que a abordagem adotada neste trabalho é pertinente. O primeiro aspecto a ser notado é ausência de negociação por um período significativo da vigência da maior parte dos contratos, excetuando-se os contratos com vencimento em maio e em outubro. A proposta apresentada aqui pode ser utilizada para dar previsibilidade aos preços dos contratos ilíquidos enquanto os mesmos não apresentam liquidez.

Os resultados observados (Figura 6 e Figura 7) a partir da aplicação do modelo proposto são compatíveis com os spreads observados no mercado quando há negociação. Vale observar que a aplicação deste modelo pode ser feita tomando-se como referência qualquer contrato líquido dentro de cada bloco mais um dos contratos de referência mencionados (vencimentos em maio e outubro). Por exemplo, tomando-se o exemplo mencionado na Introdução, os contratos H13 e J13 seriam estimados a partir dos contratos F13 e K13. Na Tabela 2 está ilustrado como a metodologia proposta pode levar em conta o efeito de rolagem dos contratos, migração de liquidez observada na Figura 1 e na Figura 2.

Por fim, os resultados (Figura 8 e Figura 9) para os cenários nos quais não há informação de mercado e há a necessidade de uso de informações históricas é muito bom, pois as distribuições de erro são consistentes com momentos em que a formação de preço dos contratos ainda não está madura.

Conclusão

Neste trabalho foi apresentada uma metodologia para o cálculo de preços de ajuste de contratos ilíquidos de futuros de Boi Gordo a partir de contratos mais líquidos desta mercadoria. Desta forma, conhecendo-se os preços do vencimento mais curto e dos vencimentos de pico dos períodos de safra e entressafra é possível determinar os preços dos demais contratos. Os principais problemas observados com a adoção de modelos encontrados na literatura são superados com a proposta apresentada neste trabalho.  Não há a necessidade de descrever a estrutura a termo com um único conjunto de parâmetros; a sazonalidade observada nos preços é respeitada; a dependência de dados históricos é reduzida, pois são tomados os preços de vencimentos com volume perene de negociação; por fim, o número de parâmetros é reduzido. A proposta final desenvolvida é utilizada pela BM&FBOVESPA no cálculo do preço de ajustes dos contratos ilíquidos, mostrando-se parcimoniosa e de fácil reprodução por qualquer participante do mercado. Além disso, os testes com dados históricos mostram ótimo acordo entre esta proposta e os preços negociados.

Referências bibliográficas

  • Schwartz, E. S. The Stochastic Behavior of Commodity Prices: Implications for Valuation and Hedging. The Journal of Finance, Vol. LII, No. 3, 923–973, 1997;
  • Kacowicz, L. Calibração do Modelo Gibson-Schwartz para dados de commodities no Brasil. Dezembro de 2012. Dissertação – Instituto de Matemática Aplicada;
  • Schwartz, E. S.; Smith, J. E. Short-Term Variations and Long-Term Dynamics in Commodity Prices. Management Science, Vol. 46, No. 7, 893–911, 2000;
  • SØrensen, C. Modeling Seasonality in Agricultural Commodity Futures. The Journal of Future Markets, Vol. 22, No. 5, 393–426, 2002;
  • Gabillon, J. The Term Structures of Oil Futures Prices. Oxford Institute for Energy Studies, WPM17, 1991.

Autores

Jairo Cavalcante de Souza
Jairo Cavalcante de SouzaBM&FBOVESPA
Naasson Reis Ferreira
Naasson Reis FerreiraBM&FBOVESPA
Wilson Nascimento de Freitas
Wilson Nascimento de FreitasBM&FBOVESPA