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Estrutura a Termo de Taxas de Juros: Determinantes Macroeconômicos – Aplicação do Modelo de Svensson para o Brasil 2017-02-10T11:00:41+00:00

Project Description

Estrutura a Termo de Taxas de Juros: Determinantes Macroeconômicos – Aplicação do Modelo de Svensson para o Brasil

Resumo: este trabalho visa sistematizar um modelo para previsão e explicação dos movimentos de curto prazo da estrutura a termo de taxas de juros pré-fixadas em reais do Brasil, baseado na relação dos movimentos em questão com os níveis e alterações que se processam nas variáveis macroeconômicas relevantes.

A metodologia usada foi dividir o procedimento em duas etapas: na primeira etapa, o modelo de Svensson (1994) é usado para ajustar a ETTJ de cada data específica para obter os parâmetros daquela data. Isso é conseguido através da maximização da estatística R2 na regressão de mínimos quadrados, como sugerido no artigo original de Nelson e Siegel (1987).

Então, as medianas dos dois parâmetros de decaimento utilizados são calculadas e mantidas arbitrariamente constantes para facilitar o cálculo.

Na segunda etapa, uma vez que os estimadores que melhor se ajustam às curvas de juros foram obtidos, outra regressão MMQO (Método de Mínimos Quadrados Ordinários) é realizada considerando os betas de Svensson dependentes de variáveis macroeconômicas de estado.

Modelagem de estrutura a termo de taxas de juros

Os estudos sobre a ETTJ vêm sendo realizados desde a década de 1970, tanto por financistas como por economistas. Os financistas estão interessados, entre outras coisas, em precificação de derivativos e hedge de títulos e derivativos de renda fixa.

Os economistas, por sua vez, têm buscado relacionar o comportamento da ETTJ com as variáveis macroeconômicas.

Os modelos não paramétricos (ou modelos de não arbitragem) irão buscar o perfeito ajuste da ETTJ em um dado instante no tempo, garantindo que não existam oportunidades de arbitragem entre vencimentos. Essa classe de modelos vai ser usada por operadores de taxas de juros, dado que no processo de precificação de derivativos a condição de não arbitragem é característica importante. Exemplos de modelos não paramétricos são as splines cúbicas de McCulloch (1971-1975) e as splines exponenciais (Vasicek, 1977).

Os modelos de equilíbrio, que são uma classe de modelos paramétricos, são caracterizados pela modelagem da taxa instantânea, que evolui para os outros prazos através de modelagem do prêmio de risco para os vértices posteriores.

Alguns exemplos consagrados são Vasicek (1977), Cox, Ingersoll Jr. e Ross (1985) e Hull e White (1990).

Segundo Caldeira (2011:98), “os métodos paramétricos apresentam algumas vantagens. Primeiro, assumem especificações parcimoniosas, que propiciam intepretação econômica dos parâmetros. Segundo, podem ser impostas formas funcionais que obedecem a relações impostas pela teoria econômica”.

Esses atributos dos métodos paramétricos, aliados em geral à sua parcimônia, serão de grande utilidade no estudo do relacionamento da ETTJ com as variáveis macroeconômicas e de mercado.

Dessa forma, alguns dos métodos paramétricos de modelagem da ETTJ são descritos a seguir.

O modelo de Nelson e Siegel (1987) consegue ajustar a ETTJ através da resolução de uma equação diferencial para as taxas forward[1] e integrá-la para obter a curva spot de juros. O ajuste de curvatura característico das curvas de juros é conseguido com a introdução de um parâmetro de formato[2], que é calculado de sorte a maximizar a estatística R2 da regressão em MMQO do modelo a seguir.

A curva spot que representa a ETTJ no modelo de Nelson e Siegel (1987)[3] é descrita por:

 Equation-1 Eq. (1)

para cada prazo τ.

Como pode ser visto na equação (1), fixado o parâmetro θ, todos os termos que acompanham os regressores podem ser calculados para uma determinada data.

Como os limites da segunda e da terceira parcelas tendem a zero quando o prazo tende ao infinito, o termo β0 é chamado o fator de longo prazo, uma vez que é para essa taxa que o modelo está convergindo naquele momento.

A segunda parcela tende a zero quando o prazo tende ao infinito, logo β1  é chamado de fator de curto prazo.

A terceira parcela tem um comportamento interessante. Ela atinge um pico em algum prazo intermediário e depois decresce monotonicamente até zero, no infinito. Logo, é um fator de médio prazo.

Uma forma alternativa de escrever a Eq. (1) é utilizando o parâmetro Equation-2

Equation-3  Eq. (2)

O parâmetro λ  é a taxa de decaimento exponencial. Valores pequenos de λ  geram decaimentos lentos, logo vão ajustar melhor a curva para prazos longos.

Valores mais altos de λ geram decaimentos rápidos e vão ajustar melhor a curva de juros no curto prazo. O valor de λ também serve para definir o ponto de máximo do efeito de médio prazo capturado por β2.

Svensson (1994) em seu artigo inclui um outro termo na equação de Nelson e Siegel (1987) com o intuito de melhorar a aderência do último em certas situações, como em curvas com formatos em S bem pronunciados, por exemplo. Este termo β3 é o regressor de uma parcela que contém o quarto termo da equação, com inclusão do parâmetro λ2 .

A equação do modelo de Svensson (1994) é:

Equation-4Eq. (3)

Uma tentativa de compreensão da dinâmica da  ETTJ ao longo do tempo ocorre no artigo de Diebold e Li (2006).

Nesse artigo eles vão buscar modelar a dinâmica da ETTJ ao longo do tempo, modelando os parâmetros βt como possuindo comportamento de modelo autoregressivo.

Assim, de agora em diante, os parâmetros β, que valem para uma data específica qualquer, passarão a ser βt.

Equation-5Eq.(4)

Uma outra visão importante que surge com Diebold e Li (2006) é a interpretação dos três fatores como nível (β1), inclinação (β2) e curvatura (β3).

Huse (2011) vai tomar o modelo Nelson e Siegel (1987) e substituir os fatores latentes de Diebold e Li (2006) por coeficientes cuja dinâmica está atrelada a variáveis macroeconômicas de estado observáveis, como inflação, dívida, taxa  básica de juros, etc.

A equação que rege o modelo de três fatores e um parâmetro é:

Equation-6Eq. (5)

Huse (2011) vai denominar Equation-7 um vetor que determina em cada instante de tempo t o formato da ETTJ.

Ele decompõe esse vetor em duas parcelas, a média e aquelas variáveis de estado que vão impactar as variáveis latentes.

Assim, a representação do modelo de Huse (2011) é :

yt (t)=Xt (lt)bt+ut(t)                              Eq. (6)

Com:

 Eq.(7)

Segundo Huse (2011:3243), “embora esse modelo seja mais custoso de ser estimado do ponto de vista numérico que o Diebold e Li (2006), no caso geral em que o parâmetro λt  também é estimado por variáveis de estado, esse custo é compensado pelo fato de ter a dinâmica dos parâmetros βt descritas pelas variáveis de estado”.

Modelo proposto

Ajuste da curva de juros

Devido às dificuldades econométricas existentes na utilização do modelo de Huse (2011), vamos realizar a estimação pelo modelo de Svensson (1994), calculando os parâmetros λ1 e λ2 para cada data de pregão na BM&F de acordo com o procedimento de Nelson e Siegel (1987) e utilizando a mediana dos resultados de ambas as séries[4]para o cálculo da regressão entre os parâmetros β e as variáveis macroeconômicas relevantes.

Regressão contra as variáveis de estado

Além de todas as questões relacionadas à estimação de um modelo econométrico, uma questão importante que surge inicialmente é: qual a frequência ideal dos dados para a regressão?

Certamente a frequência diária traria perturbações excessivas ao modelo, já que os agentes podem exigir um intervalo de tempo superior a um dia para coletar, processar e tomar as decisões de negociação no mercado. Além disso, a existência de outras variáveis atuando e que não estarão presentes no modelo pode colocar ruído na estimação do problema.

A frequência mensal, por sua vez, poderia esconder comportamentos importantes no curto prazo, relacionados a mudanças nas expectativas dos agentes causadas por informações divulgadas entre um mês e o outro.

Escolheremos então a frequência semanal para realização dos testes estatísticos e da regressão dos parâmetros contra as variáveis de estado.

Assim, as variáveis que serão usadas como regressores devem, preferencialmente, ter atualizações semanais, de sorte a que não existam períodos com valores inalterados por não divulgação em datas sucessivas.

Abaixo a lista das variáveis candidatas a variáveis explicativas para o modelo:

a) A inflação esperada utilizada será a divulgada semanalmente no Boletim Focus do Banco Central e reflete a expectativa de um conjunto de agentes bem informados sobre a inflação futura medida pelo IPCA divulgado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

b) O Risco País será medido através do Credit Default Swap (CDS, na sigla em inglês). Como o CDS Brasil de cinco anos tem cotação diária, pode ser usado com frequência semanal como indicador do risco de default do país.

c) A inflação corrente utilizada no modelo será aquela sinalizada pelo IPC Fipe, calculado pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe) para a região metropolitana de São Paulo e divulgado semanalmente.

d) A taxa Selic será a variável que mede o nível corrente da taxa de juros.

e) Taxa de câmbio nominal

f) A taxa de juros externa utilizada será aquela dos T-Bills de dez anos, emitidos pelo governo dos Estados Unidos.

g) O risco sistêmico global será medido através do índice VIX, que mede a volatilidade implícita das opções do S&P 500 e é divulgado pela Chicago Board Options Exchange.

h) A atividade econômica entrará no modelo através de sua estimação pelos agentes de mercado contida no Boletim Focus do Banco Central.

i) O índice de commodities utilizado será o CRB, dada a importância da exportação de commodities agrícolas e minerais para a economia do país.

A escolha dos fatores λ

Para o cálculo dos valores dos diversos fatores diários λ1(t) e λ2(t) foi realizado o mesmo procedimento previsto no artigo seminal de Nelson e Siegel (1987), porém com os dois parâmetros lambda do modelo de Svensson (1994).

Para cada data disponível, fixam-se os dois λ e realiza-se uma regressão em MMQO da ETTJ representada pelos seus parâmetros β0, β1, β2 e β3.

Anota-se o valor da estatística R2 e deixa-se variar tanto λ1(t) como λ2(t)  sobre um intervalo conveniente.

Para cada par λ1(t) λ2(t)  existe um conjunto de estimadores de mínimos quadrados β0, β1, β2 e β3 e a estatística R2 associada à regressão.

O conjunto β0, β1, β2, β3, λ1(t), λ2(t)  que gerar o maior R2 é o que promove a maior aderência e, portanto, é o conjunto escolhido para modelar a ETTJ naquela particular data.

O método acima prescinde de um algoritmo de otimização e pode ser programado de maneira razoavelmente simples em planilha eletrônica.

A razão para a não utilização de algoritmos de otimização robustos, como máxima verossimilhança, por exemplo, é a maior dificuldade de implantação vis-à-vis a precisão dos resultados obtidos.

Além disso, dependendo do algoritmo de otimização utilizado, podem ocorrer problemas de existência de ótimos locais que disparam o critério de parada do método em um ponto não adequado.

Diebold e Li (2006:346) afirmam: “Nós poderíamos estimar os parâmetros θ={β0t, β1t, β2t, λt }  por métodos de mínimos quadrados não lineares, para cada mês t. Seguindo a prática de Nelson e Siegel (1987), entretanto, nós fixamos o λt em um valor pré-especificado, que nos permite computar os valores dos dois regressores (fatores de carga) e usar MMQO para estimar os betas (fatores), para cada mês t. Fazer isso aumenta não só a simplicidade e conveniência, mas também a credibilidade numérica, por nos permitir trocar centenas de otimizações numéricas desafiadoras por regressões de MMQO triviais”.

O problema, segundo eles, é escolher o valor adequado de λ.

Eles o escolhem partindo do pressuposto que o valor de λ é aquele onde a carga do parâmetro de curvatura atinge seu máximo.

Se derivarmos o fator de carga de β2 em relação ao parâmetro λ, chega-se à expressão:

Equation-9 Eq. (8)

Que, para τ = 30 meses, resulta em λ = 0,0609, aproximadamente.

O histograma dos valores do fator de decaimento λ do modelo de Nelson e Siegel (1987) na amostra utilizada no presente trabalho é dado abaixo:

  • Figura 1 – Histograma λ  – Modelo Nelson e Siegel

Utilizando o valor mediano de λ e substituindo na equação (9), teríamos que o valor para Brasil da maturidade onde a carga do fator curvatura é máxima, é de 16 meses, cerca de metade do valor americano.

O histograma dos valores do fator de decaimento λ1 do modelo de Svensson (1994) na amostra utilizada é dado abaixo:

  • Figura 2 – Histograma λ1 – Modelo Svensson

O histograma dos valores do fator de decaimento λ2  do modelo de Svensson (1994) na amostra utilizada é dado abaixo:

  • Figura 3 – Histograma λ2  – Modelo Svensson

Assim, λ1 = 0,010108 e λ2 = 0,011155 (valores medianos das séries de regressões) serão os fatores de decaimento utilizados no modelo de ajuste da ETTJ pré da BM&F.

Segundo a equação (9), as maturidades para Brasil onde as cargas sobre β2 e β3 são máximas são oito e sete meses respectivamente.

Um resultado importante das simulações realizadas é que realmente se comprova que a adição de um fator de decaimento realmente melhora o ajuste da ETTJ, conforme se pode observar na tabela abaixo:

  • Tabela 1: Total de melhores R2 por modelo

Outro resultado importante, o qual influi diretamente na estimação do modelo de regressão dos parâmetros da curva de juros com função das variáveis macroeconômicas, é a verificação da qualidade do ajuste proporcionado pela utilização dos fatores de decaimento listados acima no modelo de Svensson (1994).

Para aferir isso, basta simular as curvas de juros com os lambdas utilizados, utilizando MMQO para cálculo dos parâmetros e verificando os valores de R2 resultantes.

  • Figura 4 – Histograma dos R2 diários

Pode-se observar que, para a amostra utilizada, os valores de λ1  e λ2 arbitrados oferecem um grande poder de ajuste aos dados, reproduzindo de maneira consistente a evolução da ETTJ pré em reais da BM&F.

Resultados

Resultados das regressões

A tabela a seguir contém um resumo dos resultados das regressões realizadas:

  • Tabela 2 – Resumo dos coeficientes das regressões

Nessa etapa o modelo será utilizado para replicar a ETTJ ao longo do tempo e verificar o distanciamento das ETTJ obtidas pelo modelo em relação às ETTJ verificadas na realidade.

Para medir esse distanciamento, vamos calcular a variância entre o modelo e a ETTJ observada para cada vértice, numa espécie de Tracking Error[5] das estimativas.

A equação (3) com λ1 = 0,010108 e λ2 = 0,011155 será utilizada para calcular a ETTJ em cada uma das sextas-feiras que fazem parte do período selecionado.

  • Gráfico 1 – Desvio-padrão (Taxa real – Taxa estimada) (% a.a.)

Percebe-se do gráfico acima que a aderência do modelo pode ser considerada razoável, dado que, para os maiores prazos, em 68% das vezes ele erra 0,7% a.a. para cima ou para baixo.

Utilização em algoritmos

Para aferir se o modelo consistentemente acerta o comportamento da curva de juros, vamos observar o valor do fechamento do mercado na quinta-feira, a sinalização dada pelo modelo para determinado vértice da curva na sexta-feira e verificar se o movimento sugerido realmente se materializou.

Uma maneira de fazer isso é admitir que existe um robot-trader[1] que dispara ordens de compra e venda de contratos futuros de DI com vencimentos nos vértices onde existe liquidez suficiente.

Em vez de realizar a operação em si, para não poluir a análise com técnicas de trading e imunização que podem ser controversas, vamos realizar a seguinte rotina in-sample:

a) Ao término da quinta-feira, é conhecida a ETTJ desse dia.

b) Além da ETTJ, são conhecidas todas as variáveis explicativas relevantes, como taxa Selic, inflação e PIB esperados no Boletim Focus, taxa de câmbio e CDS.

c) Substitui-se essas variáveis na equação do modelo e verifica-se a ETTJ prevista para a sexta-feira.

d) Nos vértices onde a ETTJ estimada apresenta taxa maior que a taxa de quinta-feira, anotamos como “alta”.

e) Nos vértices onde a ETTJ estimada apresenta taxa menor que a taxa de quinta-feira, anotamos como “baixa”.

f) Verificamos o que de fato ocorreu. Se o modelo previu “alta” e de fato aconteceu uma “alta” da taxa, marcamos 1, caso contrário marcamos 0.

O percentual de acertos em cada vértice será medido pela soma de números 1 apurados conforme os passos acima.

O resultado do back-test assim gerado pode ser resumido pelo gráfico a seguir:

  • Gráfico 2Back Test dentro da amostra para a previsão do modelo a.a.)

Como o experimento acima é equivalente a jogar uma moeda, a distribuição de probabilidade associada é uma Be(p), com p = 50%.

Esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal, de acordo com a equação:

Equation-10 Eq. (12)

Que é boa quando np ≥ 5.

Dado que n = 464  e p = 0.5, poderíamos propor um teste estatístico dado por:

H0 : O modelo é melhor que um trader jogando uma moeda para o alto;

H1 Não H0.

Os resultados para este teste estão resumidos no gráfico a seguir:

  • Gráfico 3 – P-Valores dos testes de hipótese nos vértices

Nota-se uma região onde os valores das estatísticas sugerem um comportamento bem distinto da simples aleatoriedade.

A tabela abaixo contém o resumo dos vértices onde o modelo bate o simples lançamento de uma moeda, para um P-Valor limite de 10%:

  • Tabela 3: P-Valores relevantes para o modelo nos vértices

Nota-se uma região onde os valores das estatísticas sugerem um comportamento bem distinto da simples aleatoriedade.

A tabela abaixo contém o resumo dos vértices onde o modelo bate o simples lançamento de uma moeda, para um P-Valor limite de 10%:

Análise de sensibilidade

Parece razoável supor que cada variável macroeconômica se manifesta nos diversos prazos da curva de juros de maneira diferente.

É possível avaliar esse fato qualitativamente através do modelo proposto.

Como o ambiente macro se altera ao longo do tempo, vamos utilizar o ano de 2014 (mais recente da amostra) para o exercício.

Cenários e movimentos sugeridos pelo modelo

a) Aumento de 1 p.p. na Selic

  • Gráfico 4 – Aumento de 1 p.p. na Selic

b) Depreciação cambial de 10%

  • Gráfico 5 – Depreciação cambial de 10%

c) Aumento do CDS para 3%

  • Gráfico 6 – Aumento no CDS para 3%

d) Aumento de 0,5 p.p. na expectativa de inflação

  • Gráfico 7 – Aumento da expectativa de inflação de 50 p.b.

e) Aumento de 50 p.b. no PIB esperado

  • Gráfico 8 – Aumento no PIB esperado de 50 p.b.

Conclusões

Os modelos parcimoniosos de ajuste de curva de juros já são ferramentas consagradas no campo das finanças de mercado, sendo utilizados por clearings, provedores de informações financeiras, bancos centrais e instituições financeiras.

O procedimento abordado neste artigo, que é o de plugar o ajuste das curvas de juros com as variáveis que explicariam seus diversos movimentos, segue como tema de interesse na academia.

Neste sentido, buscou-se com este texto dar uma contribuição adicional ao assunto, por meio da documentação cuidadosa das etapas seguidas e de alguns detalhes metodológicos como:

a) A utilização de uma série de tempo com dados da ETTJ da BM&F até o prazo de 15 anos. Embora os vértices mais longos não ofereçam tanta precisão em função da baixa liquidez, se fez necessária a comprovação do fato pelos dados.

b) A utilização dos dois fatores de decaimento λ de Svensson (1994) para modelagem da curva de juros.

c) Estes fatores de decaimento combinados tiveram melhor desempenho (medido pelo R2) que o modelo Nelson-Siegel (1987) original.

d) Os valores de λ dos modelos de Nelson-Siegel (1987) e Svensson (1994) para a economia brasileira são diferentes daquele usado por Diebold and Li (2006). A curva de juros brasileira tem seu pico em aproximadamente um terço do tempo que a americana.

e) O modelo de Svensson (1994) consegue capturar sinuosidades na curva de juros que o modelo de Nelson-Siegel (1987) não consegue, devido à utilização do segundo parâmetro.

Em relação aos resultados obtidos, algumas considerações podem ser realizadas:

– De um modo geral, as análises de regressão resultaram em modelos satisfatórios do ponto de vista de explicação dos dados. Embora tenham apresentado autocorrelação de resíduos, os fatos estilizados e sinais dos estimadores foram equivalentes aos preconizados pela teoria econômica convencional.

– As regressões para relacionar os parâmetros da curva com as variáveis macro tiveram que ser controladas por dummies relativas a cada um dos anos da série. Este fato sinaliza que as condições de liquidez e outras que não puderam ser mapeadas por variáveis quantitativas ou qualitativas são comuns ao exercício civil em questão. Uma variável que pode ser testada em trabalhos futuros é o volume de derivativos negociados no mercado da BM&F, por exemplo.

– Segundo o modelo, as variáveis que condicionam o nível das taxas de juros, ou a taxa de juros de longo prazo, são: o nível da taxa Selic, a variação entre a semana corrente e anterior da taxa de câmbio, o nível do CDS e a variação entre a semana corrente e anterior do PIB e inflação esperados. Todos com sinal positivo, ou seja, um aumento em qualquer um dos itens acima provoca um aumento no nível da curva de juros.

– O valor da inclinação da curva de juros é função positiva da variação da inflação e do PIB, do nível do CDS e das variações da taxa de câmbio, PIB e inflação esperados.

De acordo com o modelo, se a variação da inflação é positiva, a curva de juros tende a ter uma inclinação positiva. O inverso ocorre para o nível da taxa Selic. Ela entra no modelo em nível, com sinal positivo (negativo se tomarmos a tangente da taxa longa vis-à-vis a taxa curta). Ou seja, a contribuição da Selic para a inclinação é sempre negativa, sinalizando que quanto maior o choque hoje, menor a taxa amanhã e indicando a existência de reversão à média no longo prazo.

– A taxa de juros instantânea é a soma dos parâmetros de nível e inclinação. No modelo, a mesma vai depender em grande medida (e positivamente) da variação da inflação e do PIB esperados, porém com uma menor intensidade em relação à taxa de juros de longo prazo. Um outro resultado interessante é que seu valor não depende de variáveis dummies para ser explicado, o que sinaliza que seu valor não depende de condições de liquidez do mercado, por exemplo.

Como o assunto não se esgota aqui, espera-se que esta contribuição tenha servido para avanços nos estudos sobre o tema.

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Autores

José Monteiro
José Monteiro
Professor do Instituto Educacional BM&FBOVESPA e mestre em Economia na FGV/EESP
Rogerio Mori
Rogerio Mori
Prof. Dr. da FGV/EESP